Risolvere un sistema isostatico significa risolvere il sistema di equazioni formato dalla condizione di equilibrio delle forze e dei momenti. Dopo aver sostituito i vincoli con le reazioni incognite e applicato le convenzioni sui segni non è difficile formare le equazioni. In genere nei casi semplici come quelli qui proposti il centro di rotazione viene scelto su un vincolo in modo da eliminare un incognita. Risolta l'equazione dei momenti si passa per sostituzione a risolvere quella delle forze. A mano il procedimento risolta laborioso e soggetto ad errore. Nel passato erano molto utilizzati i metodi grafici per esempio come il poligono funicolare. Attualmente una infinità di programmi e programmini online e no eseguono il calcolo matriciale. La soluzione con questi è immediata dopo avere immesso la matrice dei coefficienti. Una applicazione che invece manipola le equazioni con le regole dell'algebra come le applichiamo a mano è Mathomatic. Esso è un free e open source software che può simbolicamente risolvere, semplificare, combinare e confrontare equazioni algebriche. Così utilizzando questo software che è anche online si ha una risoluzione automatica di qualunque sistema di equazioni e comunque complesso.
Qui di seguito il primo esempio. Per risolverlo con Mathomatic non occorre scaricare il programma ma basta andare al Service on the Web e incollare la sequenza di istruzioni scritta sotto. Per praticità gli indici delle forze e delle reazioni fanno riferimento alla numerazione dei nodi.
Equazioni e dialogo da incollare nel riquadro di input:
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R2 + R4 - 100 - 300 - 50 = 0 ;equilibrio delle forze
-100*2 + 300*3 - R4*6 + 50*7 = 0 ;equilibrio dei momenti
R4 ;risolvi per la reazioni R4
#1 ;richiama l'equazione #1
eliminate R4 ;combinare l'equazione #1 con la #2
R2 ;calcola l'altra reazione
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I risultati sono:
R4 = 175 N
R2 = 275 N
Le dimensioni le ho riportate io perchè non sono considerate nella risoluzione con Mathomatic
Un altro esempio numerico
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R2 + R5 - 500 - 1200 - 100*2.5 = 0 ; equilibrio delle forze
-200 - 500*5 + 1200*1 + 100*2.5*4.25 - R5*5.5 = 0 ; equilibrio dei momenti
R5 ; calcola R5
#1 ; richiama l'equazione 1
eliminate R5 ; combinare 1 con 2
R2 ;calcola R2
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Un esempio parametrico
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F2*x2 - R3*x3 + F4*x4 = 0 ;#1 eq. momenti
R1 + R3 - F2 - F4 = 0 ;#2 eq. forze
M2 = -R3*(x3-x2) + F4*(x4-x2) ;#3 momento in nodo 2
M3 = F4*(x4-x3) ;#4 momento in nodo 3
#1
solve for R3
#2
eliminate R3
solve for R1
#3
eliminate R3
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